Fiche 13 : La démonstration (L, ES, S)

Euclide (IV°?-III°? av. J.-C.), le premier mathématicien dont il nous reste une oeuvre d'importance : Les Eléments.

Analyse.

La démonstration s’entend au sens le plus général comme le moyen de prouver quelque chose, une thèse, mais aussi une aptitude, etc. En ce sens très large, l’expérience peut servir à démontrer ou être la démonstration d’une hypothèse.

La démonstration en un sens plus étroit paraît l’opération même de la raison et le moyen par excellence de la découverte de la vérité. On entend dans ce cas par démonstration la dérivation nécessaire d’une proposition à partir d’autres propositions. La proposition démontrée est une conséquence. Les propositions qui permettent la démonstration sont ses prémisses ou principes au sens large. Il y a démonstration si et seulement si une proposition découle des prémisses de façon cohérente. On peut parler de déduction. Si j’admets que les « tous les A sont B » et que « tous les C sont A », la conséquence nécessaire est que « tous les C sont B », quels que soient A, B et C.

On distinguera la déduction de l’induction qui consiste à partir de cas particuliers d’inférer une proposition générale, voire à inférer le particulier du particulier (cf. Russell, Les problèmes de la philosophie, chapitre 7).

On la distinguera enfin de l’abduction entendue comme le mode de raisonnement qui conduit à émettre une hypothèse explicative pour une conséquence donnée. L’abduction permet selon Charles Sanders Peirce (1839-1914) de faire des découvertes.

Or, il est clair qu’une démonstration n’est vraie que si et seulement si ces prémisses ou principes sont vrais. Et comme il n’est pas possible de tout démontrer, ce qui serait une régression infinie, il faut soit faire reposer la démonstration sur des principes connus sans démonstration, soit sur de simples hypothèses. Car, la démonstration circulaire ou diallèle est évidemment une faute logique. Par exemple, déduire A de B puis B de A. Enfin, la valeur des conséquences, notamment dans un test par l’expérience d’une hypothèse peut permettre logiquement de réfuter mais non de démontrer selon le principe que le faux implique le vrai.

Problèmes.

1. Dans la mesure où il n’est pas possible de tout démontrer, à quoi bon démontrer quoi que ce soit ? S’en tenir aux évidences n’est-il pas suffisant ? À l’inverse, sans démonstration ou tout au moins tentative de démonstration comment s’assurer que les prétendues évidences ne sont pas de simples préjugés ?

2. Y a-t-il des domaines qui excluent la démonstration ? Est-ce parce que des vérités immédiatement connues sont possibles et dans quels domaines ? Ou bien est-ce qu’il y a des domaines où ne sont possibles que de simples croyances ?